凯利公式（Kelly Criterion）：把"赌多少"变成一道数学题

一、它是什么？

凯利公式回答的是一个极简问题：

面对一个胜率已知（或估计）的赌局/投资机会，每次该下注多少比例的资金，才能让长期财富增长最快，同时不破产？

答案是：

f∗=bbp−q​

其中：

一句话记忆版：

f∗=赢了能赚的倍数预期净收益​

二、一个具体例子

假设你面对这样一个赌局：

• 掷一枚有偏的硬币，正面概率 p=0.6，反面 q=0.4
• 赢了：你下注1元，拿回2元（净赚1元，所以 b=1）
• 输了：你下注1元，全亏（净亏1元）

代入凯利公式：

f∗=11×0.6−0.4​=0.2

最优下注比例 = 20%。

也就是说，如果你有1000元，每次应该下注200元。不是全押，不是半仓，是精确的20%。

三、为什么不是"全押"？

这是凯利公式最反直觉的地方。很多人想：我赢面60%，比50%高，那我应该多下啊——全押不是赚最多吗？

错。全押的结局是：几乎必然破产。

原因很简单：哪怕你胜率再高，只要每次全押，连续几次亏损就会清零。数学上可以证明：

• 全押策略的破产概率 = 1（只要赌局无限次进行）
• 凯利策略的破产概率 = 0（只要你永远按公式下注，永远不会归零）

凯利公式的本质是在增长速率和破产风险之间找最优平衡点。它最大化的是对数财富的长期增长率，而不是单次收益。

四、推导思路（直觉版，不烧脑）

假设你每次下注比例为 f，赢了财富乘以 (1+bf)，输了乘以 (1−f)。

经过 N 次独立赌局后，总财富为：

WN​=W0​×(1+bf)pN×(1−f)qN

取对数（把乘法变加法）：

lnWN​=lnW0​+N×[pln(1+bf)+qln(1−f)]

要让长期增长最快，就是让方括号里的东西最大。对 f 求导、令导数为零，解出来就是凯利公式。

核心思想：最大化对数财富的期望增长率。

五、几个关键性质

1. 半凯利与分数凯利

实战中，很多人用"半凯利"（下注 f∗/2）或"1/4凯利"，原因：

• 你的胜率 p 和赔率 b 都是估计值，有误差
• 凯利公式对估计误差极其敏感——高估胜率会导致下注过重，风险暴增
• 半凯利牺牲约25%的增长率，但把波动砍掉一半，夏普比率反而更高

2. 凯利公式不保证"不亏"

它保证的是长期不破产 + 长期增长最快。短期仍然会经历大幅回撤。用凯利公式管理资金的人，照样会连亏10次、回撤30%——这是正常的。

3. 多次独立赌局

如果你同时面对多个独立机会，凯利公式可以推广为凯利投资组合（Kelly Portfolio），用协方差矩阵求解最优权重。这是量化对冲基金的核心工具之一。

4. 与"鞅"策略的对比

鞅策略是"赌徒的幻想"，凯利是"数学家的答案"。

六、现实应用场景

投资/交易

• 索普（Edward Thorp）——凯利公式的推广者，用数学击败赌场，后来创立对冲基金，年化20%+持续30年
• 文艺复兴科技（西蒙斯）——据说内部使用凯利思想的变体
• 巴菲特虽然没有公开说"我用凯利"，但他的"把大部分资金集中在少数高置信度机会上"与凯利精神一致

德州扑克

职业牌手几乎都用凯利或分数凯利来决定下注/加注尺度。当你算出自己有60%胜率、底池赔率合适时，凯利告诉你该投入多少筹码。

体育博彩

博彩公司用凯利设定赔率线，职业赌徒用凯利管理资金。博彩公司不怕你赢——怕你不按凯利下注然后一把梭哈把自己炸死。

商业决策

A/B测试、广告投放、研发投入——凡是"有概率成功、有概率失败、赢了赚多少、输了亏多少"的决策，都可以用凯利思想来分配资源。

七、凯利公式的局限

1. 你需要知道真实的 p 和 b——现实中你只能估计，估计错了比不用凯利还惨
2. 假设独立同分布——真实市场有肥尾、有相关性、有regime change
3. 假设无限次重复——如果你只活一次、只赌一次，凯利不是最优的（效用函数不同）
4. 不考虑流动性、杠杆限制、心理承受力

所以实战口诀是：算凯利，投半凯利，留余量。

八、跟我们之前聊的"不自生"有什么隐秘联系？

有趣的是，凯利公式和《道德经》第七章共享同一个底层结构：

两者都在说同一件事：别把全部筹码押在任何一个"我"认为确定的东西上。

老子说的是生命本身，凯利说的是资金。一个讲"身"，一个讲"仓"。但"留余"是共同的底层逻辑。

继续阅读：凯利公式   Kelly   概率   赔率   赌局   胜率

此文由 怡心湖 编辑，若您觉得有益，欢迎分享转发！：首页 > 常识论 » 凯利公式（Kelly Criterion）：把"赌多少"变成一道数学题